тем же, чем вы могли бы заняться где-нибудь в подмосковье )
куда ехать и что посетить зависит от ваших вкусов и пристрастий. по европейским меркам, страна довольно большая по территории, а дороги (кроме нескольких центровых трасс) весьма плохого качества. решить что и куда вы можете погуглив "достопримечательности беларуси"

впрочем, насколько я знаю, в широко известном мирском замке на праздниках будут всякие костюмированные балы и т.п. мероприятия

несколько советов на собственном опыте:
1) довольно большое количество белорусов - националисты, искренне считающие себя потомками великого княжества литовского (при этом собственно белорусским языком владеет очень небольшое количество людей), посему, истинное отношение к русским весьма далеко от "братской дружбы славянских народов". проще говоря, русских банально не любят. а уж москвичей - просто ненавидят
2) разглядев в вас москаля, вас будут стараться нагнуть, обмануть, обсчитать и т.п. по максимуму
3) попытка чрезмерного "качания прав" с сотрудниками местных правоохранительных органов может повлечь за собой плачевные последствия, попытка дачи взятки (конечно, берут, но в куда меньших масштабах) - реальный срок или ОЧЕНЬ серьезные неприятности
4) лучше не допускать падения количества топлива в баке менее четверти, особенно, в стороне от М1 - белорусские заправки весьма оригинальны в части расположения, графика работы, наличия топлива и т.п.
5) сфера сервиса даже в минске, в большинстве своем, отвратительна, да и вообще вся страна - жуткий рудимент совка, от которого местные просто охреневают, а даже самый забитый смоленский чмошник понимает, в какой замечательной и свободной стране он живет
6) постарайтесь не вступать в политические дискуссии на тему тамошнего президента с незнакомым и малознакомым местным населением (это смешно, но реально могут быть проблемы)